三平方の定理(Pythagorean Theorem)の証明 「三平方の定理」 直角三角形IJKを考える。 角JKI:直角 辺KIの長さ:a 辺JKの長さ:b 辺IJの長さ:c とすると， a^2+b^2=c^2 となる。 「証明の方針」 三平方の定理は直角三角形の辺の長さの比に関係する定理なので，比の関係を利用する。 具体的には三角形の相似の関係を利用する。 a,b,cをそれぞれ斜辺の長さとしてもつ相似な三角形を3つ作ることで， 三角形同士の比の式を考える。 「証明」 1. 相似な三角形の構成 直角三角形IJK(角JKIが直角)の頂点Kから，辺IJに向かって垂線を引く。 垂線と辺IJの交点をLとする。 これにより， 直角三角形IJK 直角三角形IKL 直角三角形KJL ができる。 このとき，この3つの三角形は相似の条件 「2組の角がそれぞれ等しい」 を満たすので，相似の三角形である。 すなわち， (1)3つの三角形はどれも直角をもつ 直角三角形IJKの角JKL 直角三角形IKLの角KLI 直角三角形KJLの角JLK (2)互いに直角以外に共通の角をもつ 直角三角形IJKの角KIJ=直角三角形IKLの角LIK 直角三角形IJKの角IJK=直角三角形KJLの角KJL よって，3つの直角三角形は相似である。 2.直角三角形同士の比 辺IJ=辺IL+辺LJ ...[1] であることを利用し，a,b,cの比を求める。 まず， 辺IL:辺IK=辺IK:辺IJ なので， 辺IL=(辺IK*辺IK)/辺IJ 辺IKの長さ=a 辺IJの長さ=c なので，辺IL=a^2/c ... [2] 次に， 辺LJ:辺JK=辺JK:辺IJ なので， 辺LJ=(辺JK*辺JK)/辺IJ 辺JKの長さ=b 辺IJの長さ=c なので，辺LJ=b^2/c ... [3] [1]に[2]，[3]を代入すると， 辺IJ=辺IL+辺LJ 辺IJ=a^2/c+b^2/c ここで， 辺IJの長さ=c なので， c = a^2/c + b^2/c よって， a^2 + b^2 = c^2 Q.E.D. --- 数学の歌を作る時には， 1. 楽曲として優れていること。次に歌詞。繰り返し聴いて学習することを目標にしているので。 2. 証明の方針など，キーフレーズをわかりやすく入れる。歌わせる。細かい数式が聴き取れなくても方針だけ頭に入れば証明は再現できる。 3. 歌い間違いに注意。変数名とか間違えないようにしていても，省略されたりするので。 4. 耳で聴いて変数名や用語がかぶらないように注意。 三角形PQRになっているのは， ABCだと辺のa^2+b^2=c^2の辺の長さの記号「abc」と衝突する。 IJKにしてみたら，「さんかくケイ」と「K」が衝突する。 という事情から。
